FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS DE LAS SUPERFICIES ALABEADAS DE DOBLE CURVATURA
Caso de Estudio: Parámetros comparativos de las superficies de parábolas invertidas (paraboloide hiperbólico, la silla de mono de una cola y de dos colas)La Tesis Doctoral recoge los antecedentes, avances, resultados y conclusiones de la investigación en la cual se estudian los fundamentos geométricos de las superficies alabeadas de doble curvatura. Asumiendo como caso particular de estudio un análisis comparativo de las superficies que, en su representación espacial, generan configuraciones geométricas de parábolas invertidas, en la cual quedan agrupados los paraboloides hiperbólicos (sillas de montar a caballo), y las sillas de mono para monos de una y de dos colas.
Los paraboloides hiperbólicos o sillas de montar son analizados bajo dos modalidades diferentes. En primer lugar los casos que corresponden a los tipos de estructuras que espacialmente se constituyen como una superficie anticlástica. La otra modalidad son los paraboloides hiperbólicos configurados como una superficie de traslación.
Respecto a las sillas de mono se estudian dos tipos: por una parte, las sillas de mono ordinaria para monos de una cola y para monos de dos colas; y, por la otra, la modalidad de generación particular de estas superficies alabeadas que son las sillas de mono «perturbadas». En este caso perturbadas, exclusivamente, por un paraboloide de base circular.
La disposición de los capítulos contenidos en la investigación responde a la siguiente descripción:
En el capítulo I se realiza una exposición del Marco Teórico del tema de estudio; considerándose los antecedentes desde dos escenarios distintos: el de los estudios geométricos y matemáticos que tienen una incidencia exclusiva para la evolución del conocimiento de las superficies alabeadas de doble curvatura, desde la antigüedad hasta el presente. Se establece que es en la actualidad cuando se ha desarrollado una mejor posibilidad de obtención de rápidos resultados de graficación y desarrollo de ecuaciones mediante la utilización de softwares matemáticos, que solucionan en corto tiempo la representación visual.
El otro escenario es el de los antecedentes de las construcciones realizadas con cubiertas de paraboloides hiperbólicos en concreto armado en los inicios del siglo pasado.
De la revisión de tales antecedentes se puede concluir, a simple vista, que las aplicaciones en procedimientos constructivos recogen un período bastante corto en tiempo: 100 años. Esto en comparación con 2500 años de investigaciones y desarrollo del saber matemático de la humanidad para la comprensión geométrica de estas superficies.
La primera experiencia de construcción, en concreto armado, de un paraboloide hiperbólico fue realizada por el Ing. Bernard Lafaille, en Francia, en 1933. También a él se debe, además de la primera patente registrada de estos sistemas de cubiertas, un primer escrito: “Memoires sur l’etude generale des surfaces gauches minces” (Memorias sobre el estudio general de las superficies alabeadas) publicación de los Boletines del Segundo Congreso de la Asociación de Ingeniería de Puentes y Estructuras. (IABSE, Vol.III, Zurich, 1935) .
Luego de un año, en 1936, fue publicado en los mismos Boletines, esta vez en el Vol. IV, el primer Tratado: “Etude statique des voiles minces en paraboloide hyperbolique travaillant sans flexion” (Estudio estático de las bóvedas delgadas en paraboloide hiperbólico trabajando sin flexión). Quince años más tarde las fórmulas y fundamentos geométricos contenidos en ese tratado llevarían, previa interpretación, adaptación y perfeccionamiento, a solucionar -estructural y espacialmente- los prototipos desarrollados por Félix Candela.
Un primer libro propuso los modelos de comportamiento elástico de “Cubiertas parabólicas de hormigón, a base de láminas armadas…”, en 1936, Issenmann Pilarsky, quien es su autor, publica: Calcule des voiles minces en bèton armé (Cálculo de bóvedas delgadas en concreto armado, editorial Dunod, París).
Un constructor italiano, el Ing. Giorgio Baroni, desarrolló unas cubiertas de paraboloides hiperbólicos descritas en sus propias palabras como un sistema “…que marca un progreso revolucionario en la técnica y la teoría de la ciencia de construcciones” . A él se debe otra patente, para Italia; siendo sus primeras experiencias, con techos de paraboloides hiperbólicos, la cubierta del Club de Trabajadores de la Planta de Aceros de Milán así como la cubierta de un almacén de la planta de fabricación de Alfa-Romeo, en la misma ciudad. También Baroni realizó la primera experiencia de paraboloides hiperbólicos en forma de paraguas, los paraguas de la localidad de Tresigallo, cerca de Ferrara, los cuales en la actualidad se han conservado en buen estado con mínimo mantenimiento.
El advenimiento de la Segunda Guerra Mundial trajo, entre otras consecuencias, la paralización de todos los avances en lo concerniente a construcción de paraboloides hiperbólicos en Europa. No se conoce algún otro antecedente relevante de construcciones de estas cubiertas durante el conflicto ni en la etapa de la reconstrucción europea.
La solución, sin calcular previamente, por parte del arquitecto español Félix Candela, de la cubierta del Pabellón de Rayos Cósmicos de la Ciudad Universitaria (México, D.F., 1951, diseñada por el Arq. Jorge González Reyna), marcó la pauta para que los paraboloides hiperbólicos, dentro del conjunto de las superficies alabeadas de doble curvatura, se diseminaran como estructuras para sistemas de cubiertas construidas en casi todo el mundo.
A partir de la obra construida por Candela los paraboloides hiperbólicos representan uno de los ejemplos más palpables de la mejor tradición tecnológica, de soluciones estructurales y estéticas en los procedimientos constructivos.
Pese a ello, en Venezuela, salvo muy contados casos –principalmente construidos como paraguas invertidos- no existió una tradición innovadora de aplicaciones de paraboloides hiperbólicos como sistemas de cubiertas. Hallándose algunas experiencias cuya autoría aún resulta difícil de documentar; pero que se atribuyen a Álvaro Coto (mexicano), Gabriel Loperena o Eduardo Catalano (ambos argentinos, aunque se cree no llegaron a trabajar juntos alguna vez).
No se conoce, hasta este momento, la trayectoria de algún arquitecto venezolano que haya realizado una profusa investigación de las innovaciones respecto a este tipo de cubiertas o que su obra construida esté signada por aplicaciones de paraboloides hiperbólicos. La mayoría de las construcciones existentes permanecen en el anonimato de sus proyectistas, constructores, entes contratantes, de la data y memorias descriptivas que relaten la experiencia constructiva.
Las superficies de paraboloides hiperbólicos cuando son construidos en concreto armado, como sistemas de cubiertas para edificaciones, quedan incluidos dentro del conjunto de estructuras laminares debido a su bajo espesor en comparación con el área de material empleado en su fabricación.
En lo que concierne a muchas otras posibilidades de materiales empleados, para la aplicación de estas superficies como estructuras construidas, los paraboloides hiperbólicos son fabricados en la actualidad con madera maciza y madera artificial como el plywood y la madera laminada (glued laminated o glulam), plásticos, polímeros de fibras de carbono, acero inoxidable y, últimamente, se ha puesto en boga erigirlos como estructuras tensiles con telas, tanto de origen esencialmente vegetal como artificiales. Se han documentado construcciones en bambú y otros materiales vegetales más perecederos o con menor capacidad portante. Al igual que se observa la incursión de los conocimientos de tales superficies en respuestas de orden artístico dentro de la escultura monumental y en elementos de ornato público.
Mientras que, hasta ahora, otros grafos de superficies resultantes de la configuración de sillas de monos para monos de una cola y sillas de monos para monos de dos colas no se conoce aplicación alguna que arroje, como resultado de algún proyecto constructivo, una estructura edificada donde se hayan empleado éstas como sistemas de cubiertas. Es más aún, sólo en los textos que han sido consultados para esta investigación, con un contenido especializado en construcciones de estructuras para arquitectos e ingenieros, aunque refieren abundantemente a los paraboloides hiperbólicos, a las sillas de mono no las mencionan.
El problema planteado para la investigación consiste en la existencia de algunos profesionales de la construcción y diseño de estructuras que poseen poco conocimiento de los fundamentos geométricos que determinan el comportamiento estable de las estructuras de los paraboloides hiperbólicos (sillas de montar a caballo) la silla de mono para un mono de una cola y la silla de mono para un mono de dos colas agrupadas en el conjunto de las superficies alabeadas de doble curvatura.
Se hace necesario indagar el porqué en el caso especifico de las sillas de monos para monos de una y de dos colas éstas han sido omitidas en los procedimientos constructivos. Mientras que los paraboloides hiperbólicos o sillas de montar a caballo sí han sido profusamente estudiados y representados como soluciones para sistemas de cubiertas en casi todo el mundo. Convirtiéndose, hoy en día, estas estructuras en una manifestación comprobada de los más altos procedimientos tecnológicos de la construcción.
En el capítulo II: Estudio geométrico de las superficies se aborda un tema que es primordial en esta investigación de un modo recopilatorio. Allí se aborda el estudio geométrico de algunas superficies y por ello el título de este ítem: “Concepto, clasificación, expresión y generación geométrico-analítica de las superficies. Sus propiedades y representación geométrica descriptiva” intentando abarcar esos conocimientos desde una óptica global de los conceptos geométricos plasmados en los conocimientos analíticos y descriptivos con representaciones gráficas y tabulaciones de las propiedades de las superficies. Partiendo de las superficies cilíndricas hasta alcanzar a los tres grafos geométricos, objeto de la presente investigación, como son, la silla de montar, la silla de mono de una cola y la silla para un mono de dos colas.
El capítulo III: Hacia una clasificación de las superficies de acuerdo a sus aplicaciones en los procesos constructivos.; éste reúne las diferentes etapas en la perfeccionamiento de los sistemas constructivos mediante el empleo de las superficies en la solución de los espacios construidos de la humanidad.
Bien es sabido que la evolución de los conocimientos geométricos y matemáticos han avanzado más rápidamente en lo que respecta a sus aplicaciones en procedimientos constructivos que, en casos como los que aquí son analizados, en referencia a las superficies alabeadas de doble curvatura han tardado muchos años en ser interpretados y aplicados.
Seguidamente el capítulo IV: Estudio comparativo de los aspectos estructurales de las superficies. Las conchas y cáscaras vs los paraboloides hiperbólicos, en el que se verifican numéricamente mediante una ejemplificación del cálculo estructural de distintas cúpulas a saber: una cúpula esférica, una cúpula parabólica y otra cúpula ojival con los ejemplos de cálculo estructural ideados por Félix Candela, estos últimos recogidos en el texto de Faber Colins, Estructuras de Candela; llevándose a cabo la determinación de esfuerzos y deformaciones de las mencionadas cúpulas y comparándolas con las de un paraboloide hiperbólico.
En el quinto y último capítulo: Fundamentos geométricos de las superficies alabeadas de doble curvatura. Propuesta de la investigación se realiza el estudio comparativo de algunos parámetros geométricos que determinarían el equilibrio estable en las superficies alabeadas de doble curvatura como sistemas de cubiertas. Considerándose que tales parámetros –entre otros- son: el área de la superficie, la curvatura media, la curvatura normal y la curvatura gaussiana.
La metodología empleada en este capítulo permite la representación gráfica y espacial de las superficies. Haciendo énfasis en las ecuaciones cartesianas. Formando agrupaciones de superficies en familias independientes, a partir de un sistema que logre cubrir una planta cuadrada. Se conforma así, con cada uno de ellos, la unidad adimensional o módulo que permitirá establecer su implantación como sistemas de cubiertas bajo condiciones de equilibrio estable. Determinándose, comparativamente, los parámetros geométricos mediante un software computacional. En este caso el Derive® (para dibujar la variedad de superficies), a partir de la indicación de la ecuación respectiva.
¿Cuál es el aporte alcanzado en esta investigación Doctoral?
El aporte fundamental que se espera lograr en la presente investigación, radica en la agrupación realizada de diferentes familias de las superficies estudiadas: una familia de paraboloides hiperbólicos bajo dos modalidades diferentes, la familia de representaciones como superficies anticlástica, y otra correspondiente a los paraboloides hiperbólicos como superficie de traslación. Una familia que agrupa a las sillas de monos para monos de una cola y otra para cuando son de dos colas; además de una última familia de superficies que reúne las sillas de mono perturbadas.
Cada uno de los tipos de superficies seleccionadas es determinado por una ecuación cartesiana predeterminada. Y, mediante el software Derive®, se elabora una tabla que contiene la representación gráfica -de esa misma ecuación- en un conjunto desde n.1 hasta n.9 posiciones principales para las superficies de paraboloides hiperbólicos, y sillas de mono para monos de una cola y de dos colas. Agregándose otras posiciones alternativas que se aplican sólo para las sillas de mono perturbadas.
La agrupación en familias de las superficies mencionadas constituye una herramienta gráfica para el uso de arquitectos, ingenieros y constructores que permite visualizar, entre infinitas alternativas, todas las posiciones representadas en los tipos de superficies que se han diseñado. Estas representaciones corresponden a analogías de visualizaciones de objetos arquitectónicos con las cuales se hallan familiarizados los arquitectos e ingenieros, tales como alzados, fachadas, vistas en perspectivas y plantas de techos; con variaciones de escalas y dimensionamiento de las proporciones de modelado.
Al pensar en algún material constructivo, para aplicaciones de los análisis realizados en la investigación, se ha delimitado el campo de las soluciones gráficas y espaciales obtenidas para solucionar cubiertas de doble curvatura con concreto armado. Aún cuando hubiera sido deseable también incluir otros materiales tales como el acero inoxidable extendido en láminas que existen en el mercado con diferentes calibres, lisas, microperforadas, (con diferentes tipos de aberturas) brillantes, satinadas y mates en medidas de 1.22*2.44 m. o en bobinas.
El concreto armado es el material constructivo más idóneo para demostrar los aportes de representación gráfica de las superficies de parábolas invertidas. Resulta evidente su potencial al facilitar las labores de encofrado y desencofrado, armado, vaciado (ya que permiten por su misma condición laminar, cubrir grandes luces, con mínimos espesores), todo lo cual redunda en un ahorro en el coste final de la edificación.
Pero, aunado a lo antes dicho, es mediante las aplicaciones de concreto armado que se podrían obtener mayores posibilidades de innovaciones tecnológicas en los procedimientos de construcción. Estas estructuras permiten la aplicación de concretos especiales, como por ejemplo aquellos en los que se aligera al máximo el material, sin arriesgar sus condiciones de equilibrio estable. Lo cual se logra mediante la aplicación de polímeros, fibra de vidrio, o en algunos casos donde se logra la sustitución de los armados de acero estructural por barras de acero plástico, fibras de polipropileno o esferas de poliestireno.
Finalmente, el término de parábolas invertidas para agrupar el conjunto de superficies de doble curvatura es un concepto que ha sido aportado, para los fines de esta investigación y que define el hecho de que en el espacio ellas se configuran geométricamente mediante la disposición de parábolas cóncavas hacia arriba a la cual se corresponden otras de idéntica magnitud pero cóncavas hacia abajo; lo que determina la condición de simetría, respecto a los ejes de sistemas de coordenadas cartesianas, que poseen estas entidades geométricas y que es una de sus características particulares relevante.
M. Sc. Arq. Rafael Gerardo Páez Espinoza.
